persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien tetap

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER HOMOGEN

DENGAN KOEFISIEN TETAP

OLEH :

Nama :                                             NPM                            

Juni harlini Sitohang                         10150086  

Prodi/Group                                               : Pendidikan Matematika/ B

Mata Kuliah                                                : Kalkulus IV

Dosen Pengasuh                                : Rick Hunter, S.Pd

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS HKBP NOMMENSEN

PEMATANG SIANTAR

2012

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR HOMOGEN

DENGAN KOEFISIEN TETAP

                                                    

 Bentuk Umum

          a_nDⁿy + a_n-1D^n-1y + a_n-2D^n-2y + .....+ a₁Dy + a₀y = 0.............persamaan (1)

D²y =   = y’’

Dy =  = y’

v Jika diambil n ˂ 2, maka persamaan (1) menjadi

a₂D²y + a₁Dy + a₀y = 0            (dibagi a₂)

D²y +  Dy +  y = 0

y’’ +  y’ +  y = 0

y’’ + ay’ + by = 0..............................persamaan (2)

misal :   = a       dan     = b

v Jika diambil n ≤ 1 maka persamaan 1 menjadi

a₁Dy + a₀y = 0                         (dibagi a₂)

           Dy +  y = 0

ay’ + by = 0

a  = - by

           = -  

Misal  :  -  = r

           = - r

∫  = ∫ r

ln y = rx + c

y = e^rx . c

y = ce^rx ,              

y = ce^rx

y’ = cre^rx                subtitusi ke persamaan 2

y’’ = cr²e^rx

y’’ + ay’ + by = 0

cr²e^rx + a cre^rx + b ce^rx = 0                           ( dibagi ce^rx )

menjadi

r² + ar + b = 0

ini merupakan persamaan karakteristik dari persamaan differensial linier homogen koefisien tetap.

Untuk menentukan selesaian umum persamaan tersebut ditentukan dengan

y = Ce^rx

dimana r akar persamaan karakteristik yang telah diketahui.

Karena r₁, r₂, r₃ .....r_n adalah akar-akar persamaan karakteristik, maka jenis bilangan real dan tidak real. Untuk lebih jelasnya diberikan penjelasan sebagai berikut:

1.   Jika akar-akar pk real dan berlainan ( r₁ ≠ r₂ ≠ r₃....≠ r_n )

Maka

y = c₁e^r1x + c₂e^r2x + c₃e^r3x ......+ c_ne^rnx

          contoh :

          tentukan selesaian umum persamaan differensial linear berikut

           + 5  + 6y = 0

          Jawab :

          Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk

          y’’ + 5y’ + 6y = 0

          r² + 5r + 6 = 0

          ↔ ( r + 2) ( r + 3) = 0

          Diperoleh akar-akarnya          r₁ = -2                   r₂ = -3 (keduanya berbeda)

          Maka selesaian umum persamaan diatas adalah

          y = c₁e^-2x + c₂e^-3x

2.   Jika akar-akar pk real dan kembar atau sama (r₁ = r₂ = r₃ = ....r_n)

Maka

y = (c₁ + c₂x + c₃x² + ..........+ c_nx^n-1) e^rx

contoh :

selesaikan persamaan differensial berikut

           – 4 + 4y = 0

          Jawab :

          Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk

          y’’ – 4y’ + 4y = 0

          r² - 4r + 4 = 0

          ↔ (r-2) (r-2)

          diperoleh akar-akarnya           r₁ = r₂ = 2 (sama)

          maka selesaian persamaan diatas adalah

          y = (c₁ + c₂x) e^2x

3.   Jika akar-akar pk imajiner ( r₁ = a + ib, r₂ = a - ib)

maka

y = c₁e^{(a + ib)x} + c₂e^{(a - ib)x}

y = c₁e^ax.e^ibx + c₂e^ax.e^-ibx

                   = e^ax (c₁e^ibx + c₂e^-ibx)

             = e^ax (c₁((cos bx + i sin bx) + c₂(cos bx – i sin bx ))

             = e^ax ((c₁ + c₂) cos bx – (i(c₁ – c₂) sin bx))

             = e^ax (A cos bx + B sin bx )

          Contoh :

          y’’ – 2y’ + 5y = 0

          r² – 2r + 5 = 0

          r_1,2=

               =

r₁  =   = 1 + 2i     maka    a = 1

r₂  =   = 1 – 2i                   b = 2

maka

y = e^x (A cos 2x + B sin 2x )

SOAL

1.       - 6   + 12  - 8  = 0

2.       + 4  = 0

3.      y’’’ + y’’ – y’ – 1 = 0

4.      (y’’ + 1) (y’’ + y + 1) (y + 3) = 0

5.      y’’’ – 3y’’ – 3y’ + y = 0

6.       – 4  +  + 6  = 0

7.       – 16y = 0

8.      y’’’’ – y’’’ – 9y’’ – 11y’ – 4y = 0

penyelesaian

     1.              - 6   + 12  - 8  = 0

Bentuk lain persamaan diatas adalah

y’’’’’ – 6y’’’’ + 12y’’’ – 8y’’ = 0

r⁵ – 6r⁴ + 12r³ – 8r² = 0

r² (r³ – 6r² + 12r – 8) = 0

↔ r² (r – 2)³ = 0

Diperoleh r₁ = r₂            dan r₃ = r₄ = r₅ = 2

Maka selesaian umum persamaan diatas adalah

y = (c₁ + c₂x) e^0x + (c₃ + c₄x + c₅x²) e^2x

   =  (c₁ + c₂x) + (c₃ + c₄x + c₅x²) e^2x

         

     2.             + 4  = 0

Bentuk lain persamaan diatas adalah

y’’’’ + 4y’’ = 0

r⁴ + 4r² = 0

↔ r² (r² + 4) = 0

Dari r² = 0 Diperoleh r₁ = r₂ = 0

Dari (r² + 4) = 0

 r_3,4 = 

      =

      =

Maka   r₃ =  = 2i                  didapat

  r₄ =  = - 2i              a = 0 dan b = 2

untuk itu dapat disimpulkan selesaian umumnya

y = (c₁ + c₂x) e^0x + (c₃ cos 2x + c₄ sin 2x)

             = (c₁ + c₂x) + (c₃ cos 2x + c₄ sin 2x)

     3.            y’’’ + y’’ – y’ – 1 = 0

r³ + r² – r – 1 = 0

(r + 1) (r² – 1) = 0

Dari r + 1 = 0                 dari r² – 1 = 0

Didapat r₁ = -1               didapat r₂ = 1 dan r₃ = -1

Maka selesaian umumnya adalah

y = c₁e^-x + c₂e^x + c₃e^-x

     4.            (y’’ + 1) (y’’ + y + 1) (y + 3) = 0

(r² + 1) (r² + r + 1) (r + 3) = 0

v Dari r² + 1 = 0

r_1,2 =

r₁ =  = i            maka

r₂ =  = -i        a = 0 dan b = 1

v Dari r² + r + 1 = 0

r_3,4 =

  r₃ = -  +  i              maka

  r₄ =  -  -   i             a = -  dan b =

v Dari r + 3 = 0  diperoleh r₅ = -3

Maka selesaian umumnya adalah

y = (c₁ cos x + c₂ sin x) + e ^{-   x} (c₃ cos  x + c₄ sin   x) + c₅e^3x

     5.            y’’’ – 3y’’ – 3y’ + y = 0

r³ – 3r² – 3r + 1 = 0

(r + 1) (r² – 4r + 1) = 0

Dari (r + 1) = 0 maka r₁ = -1

Dari (r² – 4r + 1) = 0

r_2,3 =

               =

r₂ =  = 2 +  i     maka

r₃ =  = 2 -  i      a = 2 dan b =

yang merupakan selesaian umumnya adalah

y = c₁e^-x + e^2x (c₂ cos  x + c₃ sin  x)

     6.             – 4  +  + 6  = 0

Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk

y’’’’ – 4y’’’ + y’’ + 6y’ = 0

r⁴ – 4r³ + r² + 6r = 0

r (r³ – 4r² + r + 6) = 0

↔ r (r + 1) (r – 2) (r – 3) = 0

Diperoleh akar-akarnya adalah

r₁ = 0, r₂ = 1, r₃ = 2, dan r₄ = 3

sehingga selesaian umum persamaan diatas adalah

y = c₁e^0x + c₂e^x + c₃e^2x + c₄e^3x

   = c₁ + c₂e^x + c₃e^2x + c₄e^3x

     7.             – 16y = 0

Bentuk lain persamaan diatas adalah

y’’’’ – 16y = 0

r⁴ – 16 = 0

(r – 2) (r + 2) (r² + 4) = 0

r₁ = 2 dan r₂ = -2                     r_3,4 = ± 2i

maka selesaian umumnya adalah

y = c₁e^2x + c₂e^-2x + (c₃ cos 2x + c₄ sin 2x)

     8.            y’’’’ – y’’’ – 9y’’ – 11y’ – 4y = 0

r⁴ – r³ – 9r² – 11r – 4 = 0

↔ (r + 1) (r + 1) (r + 1) (r – 4) = 0

r1 = r₂ = r₃ = -1               dan r₄ = 4

sehingga selesaian umum persamaan diatas adalah

y = (c₁ + c₂x + c₃x²) e^-x + c₄ e^4x